Satz des Pythagoras
a² + b² = c²
Der berühmteste Satz der Mathematik
Der Satz des Pythagoras ist wohl der bekannteste Satz der gesamten Mathematik – und einer der ältesten. Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten.
a² + b² = c²
Obwohl der Satz nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras von Samos (ca. 570–495 v. Chr.) benannt ist, war er in Babylonien und Indien bereits Jahrhunderte früher bekannt. Was Pythagoras und seiner Schule zugeschrieben wird, ist der erste strenge mathematische Beweis.
Der Satz im Detail
Im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man:
- Hypotenuse (c): die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite – die längste Seite des Dreiecks
- Katheten (a, b): die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen
Der Satz besagt: Errichtet man über jeder der drei Seiten ein Quadrat, so ist der Flächeninhalt des großen Quadrats (über c) gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden kleinen Quadrate (über a und b).
Umkehrung: Gilt in einem Dreieck a² + b² = c², so ist der Winkel gegenüber c ein rechter Winkel. Dies ist die Umkehrung des Satzes – und ebenfalls beweisbar.
Berechnung fehlender Seiten:
- Hypotenuse unbekannt: c = √(a² + b²)
- Kathete unbekannt: a = √(c² − b²)
Beweise
Es gibt über 400 bekannte Beweise des Satzes des Pythagoras. Die drei wichtigsten für den Schulunterricht:
1. Zerlegungsbeweis
Ein großes Quadrat mit Seitenlänge (a + b) wird auf zwei verschiedene Arten in Teilflächen zerlegt. In beiden Fällen enthält es vier kongruente rechtwinklige Dreiecke. Die verbleibenden Flächen ergeben einmal c² und einmal a² + b² – also gilt c² = a² + b².
2. Umordnungsbeweis
Vier kongruente rechtwinklige Dreiecke werden auf zwei verschiedene Weisen in einem Quadrat angeordnet. Die jeweils verbleibende Fläche zeigt die Gleichheit von c² und a² + b² unmittelbar durch Umlegen (ohne Rechnung).
3. Euklidischer Beweis (Höhensatz und Kathetensatz)
Euklid bewies den Satz über Flächengleichheit von Rechtecken. Dabei spielen zwei verwandte Sätze eine Rolle:
- Höhensatz: h² = p · q (wobei h die Höhe auf die Hypotenuse, p und q die Hypotenusenabschnitte sind)
- Kathetensatz: a² = c · p und b² = c · q
Addition der beiden Kathetensätze ergibt: a² + b² = c · p + c · q = c · (p + q) = c · c = c².
Anwendungen
Der Satz des Pythagoras ist überall dort anwendbar, wo rechte Winkel vorkommen – und das ist sehr häufig:
- Längen berechnen: Fehlende Seiten in rechtwinkligen Dreiecken; Standardaufgaben in Sek I (Leiternaufgaben, Wegberechnung, Höhenbestimmung)
- Diagonale im Rechteck: d = √(a² + b²) – Diagonale eines Rechtecks mit den Seiten a und b
- Raumdiagonale im Quader (Pythagoras in 3D): d = √(a² + b² + c²) – zweifache Anwendung des Satzes für die Raumdiagonale eines Quaders mit den Kanten a, b, c
- Abstände im Koordinatensystem: Abstand zweier Punkte P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂): d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) – direkte Anwendung des Pythagoras auf die Differenzen der Koordinaten
- Trigonometrie: Der Satz ist die Grundlage des trigonometrischen Pythagoras: sin²(α) + cos²(α) = 1
Weiterführende Literatur
Eine ausführliche Darstellung mit Geschichte, Beweisen und Verallgemeinerungen findet sich auf Wikipedia: